Математическое моделирование задачи оптимального рациона

Правильное питание – залог здоровья граждан РФ. Железо, магний и фосфор являются важнейшими минеральными элементами полноценного питания. Обеспечение их суточной потребности для потребителя является важнейшим условием правильного питания. С другой стороны, гречка и овсяные хлопья, достаточно популярные среди населения РФ продукты питания, фактически основа ежедневного рациона.

Цель исследования – составить оптимальный рацион, состоящий из гречневой каши и овсянки, обеспечивающий суточную потребность организма в железе, магнии и фосфоре и минимизирующего затраты индивида.

Объект исследования – задача оптимального рациона.

Предмет исследования – графический метод решения задач линейного программирования.

Информационная база исследования представлена интернет-порталами правильного питания и продажи (доставки) продуктов питания.

Цена: 800 руб.

1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу на оптимальный рацион. Рассматривается две популярные каши: гречневая[1] и овсяные хлопья[2].
Железо, магний и фосфор – необходимые минеральные элементы, без которых нормальное функционирование человеческого организма трудно представить.
Так, суточная потребность[3] в железе составляет 10 мг, в магнии – 400 мг, и в фосфоре – 700 мг.
Все исходные данные приведены в таблице 1.1
Таблица 1.1
Исходные данные
Минерал   
Содержание   вещества на 100 грамм продукта, мг
Суточная   потребность, мг
Гречка
Овсяные   хлопья
Железо
0,8
4,3
10
Магний
51,0
138,0
400
Фосфор
70,0
410,0
700
Цена,   руб./кг
90[4]
135[5]


При этом, потребитель ест овсяные хлопья исключительно на завтрак в количестве не более 200 г, а гречки он не может съесть более 400 г в день.
Требуется найти оптимальный рацион, обеспечивающий с одной стороны суточную потребность в минералах, а с другой – минимизирующий затраты потребителя на продукты питания.
2. Математическая модель задачи
Выполним пересчёт цен в расчете на 100 г продукта (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Минерал
Содержание   вещества на 100 г продукта, мг
Суточная   потребность, мг
Гречка
Овсяные   хлопья
Железо
0,8
4,3
10
Магний
51,0
138,0
400
Фосфор
70,0
410,0
700
Цена,   руб./100 г
9
13,5

Обозначим переменные:
х1, х2 – содержание гречки и овсяных хлопьев в суточном рационе (единиц по 100 гр.);
Тогда целевая функция (минимальная стоимость рациона):
F = 9x1+13,5x2 → min
Ограничения к задаче: 
- по железу: 0,8x1 + 4,3x2 ≥10
- по магнию: 51x1 + 138x2 ≥400
- по фосфору: 70x1 + 410x2 ≥700
- по гречке: x1 ≤ 4
- по овсяным хлопьям: x2 ≤2
При условии неотрицательности х1, х2 ≥ 0, мы получаем математическую модель задачи.
3. Решение задачи
Поскольку имеем всего две переменных, то задачу можно решить графически. Определяем область допустимых решений. Для этого строим прямые и определяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам.
После нахождения области допустимых решений строим вектор-градиент целевой функции. Начало вектора в точке (0;0), конец – в точке (9;13,5).
Затем строится перпендикуляр к градиенту F. Двигаем его до первого касания области допустимых решений. Такой точкой касания является точка А (рис. 3.1).
                   
Рис. 3.1. Графическое решение задачи об оптимальном рационе
Найдем ее координаты:
- по магнию: 51x1 + 138x2 ≥400
- по овсяным хлопьям: x2 = 2
Откуда х1 = (400 – 138*2)/51 = 124/51≈ 2,431
Т. А (124/51; 2)
Стоимость рациона в точке А:
Fmin(2.431;1,5) = 9*124/51 + 13,5*2 = 48,882 руб.
Т.е. для удовлетворения суточной потребности в железе, магнии и фосфоре достаточно съедать 243,1 грамма гречневой каши и 200 г. овсяных хлопьев. Сумма затрат: 48,882 руб.
Также задачу можно решить с помощью надстройки MS Excel «Поиск Решения». Это значительно проще графического метода.
 
Рис. 3.2. Макет для решения задачи в MS Excel
Вызовем диалоговое окно «Поиска решений»:
 
Рис. 3.3. Диалоговое окно «Поиска решения» в MS Excel
И на рис. 3.4 выведем решение нашей задачи.
 
Рис. 3.4. Решение задачи с помощью «Поиска решения» в MS Excel
Решение дает такой же результат, как и графический метод.
При оптимальном рационе суточное потребление составит: по железу – 10,545 мг (+5,45% к суточной норме), по магнию – 400 мг, по фосфору – 990,196 мг (+41,46% к суточной норме). 
Вывод
И так, для удовлетворения суточной потребности организма в железе, магнии и фосфоре индвиду достаточно съедать 200 г овсяных хлопьев и 243,1 г гречневой каши. Затраты составят порядка 49 рублей. При этом, потребность в магнии будет выполнена на 100%, а потребности по железу и фосфору – перевыполнены на 5,45% и 41,46% соответственно.
[1] https://fitaudit.ru/food/157589

[2] https://fitaudit.ru/food/111819

[3] https://fitaudit.ru/food/157589#norm

[4] https://vkusvill.ru/goods/krupa-grechnevaya-yadritsa-900-g-17699.html

[5] https://vkusvill.ru/goods/gerkules-ovsyanye-khlopya-400-g-1248.html